Vad är viktigast, att lära sig multiplikationstabellen eller att ha förståelse för de värden som vi beräknar?

Vi blir ofta påminda om att skolan befinner sig i ett paradigmskifte och att informationstekniken har förändrat innehållet i nästan allt vi gör.

I sammanhanget brukar vi vara samstämmiga kring att vi i framtiden kommer att behöva kreativa och frimodiga unga vuxna som ”tänker utanför boxen”.

Och som en direkt följd till dessa tankegångar, så ställer samhället alltmer ofta frågan: Vad är viktigast: Att lära sig multiplikationstabellen eller att ha förståelse för de värden vi beräknar? (Lärarnas nyheter, 2010).

Kan man verkligen ställa ovanstående fråga? Ja, det är klart att man kan ställa vilka frågor som helst.

Kan man besvara frågan på ett entydigt sätt? Härnäst kommer jag att argumentera för att frågan inte kan besvaras i den formen som den är formulerad eftersom det – när det gäller matematiken – finns gott om sådant som man måste kunna utantill men även sådant som man helst bör förstå.

Om vi definierar kunskap som något som individen kan visa prov på vid ett bestämt tillfälle, så inser vi att kunskaper omöjligt kan frikopplas från minnesfunktioner. I arbetsminnet pågår en kontinuerlig och cyklisk process som handlar om att upptäcka, reformera och vid behov förnya kunskap. Arbetsminnets storlek är någorlunda flexibel men begränsad – följaktligen är det sättet som man använder arbetsminnet på som är avgörande för både inlärning och hantering av den i långtidsminnet lagrad information (Ingvar, 2009). Utan att ha ambitionen att i detalj belysa den biologiska modellen, så kan vi konstatera att problemet i samband med minneshantering stavas arbetsminne. Men det är just i arbetsminnet som huvuddelen av den matematiska problemlösningen sker; att inhämta, värdera och bearbeta information är de viktigaste processerna vid matematisk problemlösning.

Flertalet studier har visat att välpresterande elever använder sina minnesfunktioner på ett optimalt sätt, dvs. oftast förekommande resultat, formler och samband hamnar i minnet för att spara tid och göra beräkningar mera effektiva (Krutetskii, 1976; Byers & Erlwanger, 1985). Enkelt uttryck kan man säga att vid matematisk problemlösning anstränger sig välpresterande elever mindre än vad lågpresterande elever gör. På senare år har vi även fått en biologisk förklaring till fenomenet. Aktuella studier har visat att vi möter all inkommande information med hjälp av information som redan är lagrad i minnet (Ingvar, 2009). Detta begränsar naturligtvis möjligheterna att förstå det vi inte sett tidigare, men påskyndar samtidigt informationsbearbetningen.

Men den mest fantastiska nyheten i sammanhanget är att automatiserade kunskaper inte belastar arbetsminnet.

För att exemplifiera detta, kan vi föreställa oss en situation där vi ska lösa ett problem som i ett mellansteg kräver en division av talet 56. Om vi kan multiplikationstabellen, så kan vi fortsätta tänka på hur problemet ska lösas medan vi tar in den automatiserade kunskapen ”56/8 = 7” i arbetsminnet. Om vi inte kan multiplikationstabellen, så använder vi arbetsminnet till att resonera oss fram till ”7 ∙ 8 = 56”, en process som är energi – och tidskrävande och som framförallt flyttar fokus från huvudfrågan i problemet. Följaktligen är det förståeligt att elever som inte kan multiplikationstabellen ofta blir trötta och tappar koncentrationen vid lösning av matematiska problem som innehåller mycket aritmetik.

En annan intressant aspekt är att en av hjärnbarkens grundläggande funktioner – vid sidan av arbetsminnets hantering – är att all inlärning går ut på automatisering (Ingvar, 2009).

Men kan detta medföra att välpresterande elever automatiserar allt inom skolmatematiken? Den goda nyheten är att så är absolut inte fallet, eftersom automatiserade kunskaper (t.ex. faktakunskaper och sifferminne) som inte kan placeras i meningsfulla sammanhang tenderar att användas på ett felaktigt sätt (Marton et al., 1999).

Som jag nämnde i januarikrönikan, så visades det redan på 1960-talet (Krutetskii, 1976) att matematiskt minne inte är liktydigt med det mekaniska minne som vi använder för att öva tabellkunskaper eller algoritmer. För att illustrera detta kan jag nämna att eleverna i Krutetskiis studier bl.a. fick lösa ett problem som handlade om vikten och längden av en fisk. Men eftersom problemet inte var av standardkaraktär, så var det endast några få elever som kunde lösa det. Tre månader efteråt undersökte man vad eleverna mindes från problemlösningen. Forskarna blev överraskande av att många elever som inte hade löst uppgiften kom ihåg dess kontext relativt väl; de mindes t.ex. att ”det handlade om en fisk som vägde 2 viktmått” – men dessa elever kunde fortfarande inte lösa problemet.

Välpresterande elever mindes däremot inte vad problemet handlade om, men de kunde komma ihåg problemtypen och lösningsmetoden som de hade använt – dessa elever visade prov på ”ett minne för generaliseringar och logiska strukturer” (Krutetskii, 1976). Alltså lärde de sig inte allting utantill, men de förstod vilken modell som de skulle använda för att lösa problemet. Duktiga elever memorerade problemtyp, huvudlinje i bevisföring och logiska mönster, dvs. strukturer som gjorde problemlösningen mer effektiv.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att det är tämligen meningslöst att polarisera frågan mellan det som man ska kunna och det som man ska förstå. Multiplikationstabellen bör man definitivt kunna och på samma sätt bör man lära sig även grunderna för ekvationslösning, eftersom de kunskaperna sparar tid, energi och arbetsminne under problemlösningsprocessen. Naturligtvis bör vi sträva efter att elever ska förstå det som de lär sig; men för att kunskap ska leda till förståelse, så är det nödvändigt att börja med grundläggande kunskaper. Och i det avseendet verkar det som att vi inte har något val, eftersom all inlärning leder till någon form av automatisering.

Attila Szabo

Litteratur

Byers, V. & Erlwanger, S. (1985). Memory In Mathematical Understanding. Educational Studies in Mathematics, 16 (3), (pp. 259-281).

Ingvar, M. (2009). Hjänbarkens funktion. I L. Olson m.fl. (Red.), Hjärnan. Stockholm: Karolinska Institutet University Press.

Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago: The University of Chicago Press.

Lärarnas nyheter (2010). http://www.lararnasnyheter.se, december 2010.

Marton, F. & Hounsell, D. & Entwistle, N. (1985). Hur vi lär. Norstedts Akademiska Förlag.