Matematikundervisningens villovägar

Efter nästan två decennier (artikeln publicerades 2011, reds anmärkning) är det återigen dags för nya läroplaner. Förändringarna är omfattande och gäller både mål och centralt innehåll men också hur elevernas kunskaper ska betygsättas. Vi bör naturligtvis bortse från ideologierna som ligger bakom ämnesplanerna, men vi kan inte ignorera faktumet att det är vi lärare som förväntas göra jobbet, dvs. det är vår undervisning som ska leda till att eleverna når målen. Förväntningarna på oss blir inte mindre av att det finns gott om studier som poängterar att läraren är den viktigaste faktorn för lusten att lära.

Undervisning är naturligtvis en komplicerad och dynamisk process, där läraren måste ta hänsyn till både gruppens och individens förkunskaper samt de, för förståelsen, kritiska faktorerna inom ämnesområdet. Men undervisning handlar inte bara om pedagogik, välvilja och lärarens ämneskunskaper. Därför ska jag härnäst, med hjälp av ett par exempel, belysa några av matematikundervisningens villovägar och möjligheter.

Det första exemplet handlar om en situation där läraren hjälper en elev som har problem med att lösa ekvationen 2 + x = –5.

Lärare: ”Vad är x-et?”

Elev: (svarar inte på frågan, sitter tyst)

L: ”Vad ska man lägga till 2 för att få –5?”

E: ”Lägga till?” (följs av tystnad)

L: ”Ok. Men hur mycket ska man ta bort från 2 för att få –5?”

E: ”Ta bort?” (följs av lång tystnad)

L: ”Skriv att x är lika med –7 och testa.”

Undervisningen kollapsar helt när läraren avslöjar ekvationens lösning och det är högst osäkert om eleven har lärt sig något. Den franske didaktikern Guy Brousseau (1990) pratar om Topaze-effekten, när han beskriver en undervisningssituation där svaret är bestämt i förväg och där läraren, genom att välja stegvist lättare frågor, helt tar över ansvaret för att lösa problemet. Situationen leder alltför ofta till att eleven inte känner sig delaktig i processen och att lärandet därmed uteblir.

Brousseau beskriver även andra exempel där lärarens ansträngningar och välvilja inte leder till önskat resultat. I ett av exemplen jämförs matematikläraren med en skådespelare som vet exakt vilken roll den ska spela och vilket budskap rollfiguren ska förmedla till publiken. Problemet är att ju mer känsloladdat skådespelaren agerar, desto svårare blir det för publiken att ta till sig rollfigurens budskap, eftersom skådespelaren tenderar att skapa en förenklad och overklig situation där publiken inte känner igen sig. Skådespelarens paradox kan relativt enkelt översättas till lärarens vardag. Om läraren skapar och kontrollerar både frågor och svar i klassrummet, så berövar den eleverna chansen att delta i spelet och därmed deras möjligheter att agera – konsekvensen är att situationen blir verklighetsfrämmande och eleverna känner sig utanför.

Följaktligen förespråkar Brousseau en undervisningssituation där elever och lärare interagerar, frågor lämnas öppna och eleverna genom olika matematiska aktiviteter bjuds in i lärandeprocessen.

I samklang med Brousseau, men oberoende av honom, presenterade Alan Schoenfeld, matematiker från Berkeley, redan 1989 en modell för matematikundervisning där studenterna helt inkluderades i undervisningen. Schoenfeld, som betraktar matematiken som ”vetenskapen om mönster”, hade inför presentationen genomfört kurser där studenterna på egen hand fick behandla riktigt utmanande problem. Kurserna började med att läraren presenterade några valda problem som studenterna skulle lösa i grupp eller på egen hand, men utan någon som helst inblandning från lärarens sida. När studenterna sedan presenterade sina resultat och undrade om dessa var korrekta, så fick de ofta det överraskande svaret: ”Titta inte på mig för ett godkännande… Jag är övertygad om att klassen kan tillräckligt mycket för att avgöra om det som står på tavlan är rätt eller fel” (Schoenfeld, 1994). Studenterna förväntades alltså själva avgöra om det som de kom fram till var rätt eller fel, vilket ledde till att rektorn började oroa sig för att kursupplägget kommer att leda till en mindre skandal på institutionen. Men intervjuerna som genomfördes i samband med kursen visade att rektorns oro var överdriven – studenterna kände sig utmanade av kursens upplägg, arbetade lustfyllt med problemlösning, upplevde delaktighet i lärprocessen och uppfattade situationen som att ”man äger sin matematik”.

Det fanns dock gott om matematiklärare som kritiserade Schoenfeld genom att påpeka att det var tjänstefel att inte svara på elevernas fråga om resultatet var rätt och därmed tillåta dem att lämna klassrummet i ovisshet. Och även Brousseau betonar vikten av att validera mönstren som eleverna identifierar under problemlösningen, för att på så sätt underlätta att deras erfarenheter omvandlas till kunskap. Alltså verkar det som att en bekräftelse från lärarens sida är nödvändig om eleverna ska lära sig det man vill att de ska lära sig.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att det verkar vara en passande modell att undervisa matematik genom problemlösning – att utan alltför mycket inblandning från lärarens sida låta eleverna löser utmanande problem och att i en återkoppling bekräfta om lösningarna håller måttet. När det gäller vikten av att kunna arbeta på egen hand, så får modellen stöd även av kognitionsforskaren Peter Gärdenfors (2010) som menar att omfattande yttre belöning minskar behovet av inre belöning, där det sistnämnda anses vara en av lärandets viktigaste drivkrafter. Men som jag ser det, så är nyckeln till modellen just uppgifterna som vi väljer åt eleverna – om uppgifterna är lätta, så är de inte utmanande nog och är de för svåra, så kommer eleverna inte att kunna lösa dem.

Historien skulle kunna sluta där – med en undervisningsmodell som leder till goda resultat – men jag vill ändå framhålla att det finns många fler vägar att gå. I ett seminarium medgav matematikern Judah Schwartz att modellen är förträfflig, men den kan omöjligt vara den enda modellen – han vände sig till Schoenfeld och övriga närvarande matematiker genom att påpeka att ”salen är fylld med folk som förmodligen inte har lärt sig matematik endast på det sättet” (Schoenfeld, 1994).

Attila Szabo

Läs även: Vad är viktigast, att lära sig multiplikationstabellen eller att ha förståelse för de värden som vi beräknar?

Litteratur

Schoenfeld, A. (1994), Mathematical thinking and problem solving. Routledge, New York.

Gärdenfors, P. (2010), Lusten att förstå – Om lärande på människans villkor. Natur & Kultur, Stockholm.

Brousseau, G. (1990), Theory of didactical situations in mathematics. Kluwer Academic Publishers, New York.