Trögt med skolalgebran? Botemedlet heter variation

Hur blev du intresserad av ämnet?

– Jag har ett gammalt intresse för det matematikområde som kallas för algebra eller skolalgebra, det vill säga det som för eleverna utmärker sig som att man börjar räkna med bokstäver. Övergången från aritmetiken till algebran är en brytpunkt i skolmatematiken, det är här som många elever får svårigheter med matematiken och har svårt att se poängen med det dem ska lära sig.

Vad handlar avhandlingen om?

– Den handlar om skillnader och likheter i kinesiska och svenska lärares sätt att undervisa om ett och samma innehåll, nämligen linjära ekvationssystem. I många internationella jämförelser av elevers prestationer så tittar man på saker som lärarna faktiskt inte har kontroll över: i TIMSS och PISA blandar man in bakgrundsdata såsom storleken på klassen, lärares utbildningsnivå och antalet lektioner, för att hitta förklaringar till varför resultaten skiljer sig åt. Men de här faktorerna är mer intressanta för politiker än för lärare: en mattelärare har ju den klass man har, de här bakgrundsfaktorerna är ingenting som läraren har direkt användning av när han eller hon ska gå in och undervisa. Jag ville studera sådant som lärarna faktiskt har inflytande över, det vill säga hur man väljer att hantera undervisningsmaterialet och hur man lägger upp och genomför sin undervisning. Läraren gör nämligen en mängd val, både före och under undervisningen, med därmed inte sagt att alla val är medvetna. Genom att använda mig av variationsteorin, det vill säga titta på hur något konstant, i mitt fall linjära ekvationssystem, varieras på olika sätt, kan man få syn på intressanta aspekter av undervisningen som annars är osynliga.
– I studien tittar jag på videofilmer från tre klasser vardera i Kina och i Sverige (varje klass är filmad i mellan tolv till arton lektioner i följd). Därefter har jag valt ut de lektioner som mer precist hanterar samma matematikinnehåll och studerat dem mer ingående. Det var självklart inte helt lätt, det fanns både en språklig och kulturell barriär – i början tyckte jag inte att jag såg någonting på filmerna – men när jag höll ett strikt fokus på det innehåll som hanterades och vad som blev möjligt för eleverna att urskilja, så framträdde plötsligt skillnaderna. Det finns mycket som vi lärare tar för givet när vi undervisar, och det som blir uppenbart i studien är att saker som hålls konstanta i undervisningen blir mycket svårt för eleverna att urskilja, medan saker som varieras är lättare att upptäcka. Det handlar om att variera undervisningen och skapa kontraster, så att eleverna får syn på skillnader och likheter: ta till exempel bokstäverna x och y – de används i den svenska undervisningen som en beteckning för de obekanta talen i nästan alla exempel som förekommer. Eftersom valet av bokstäver tas för givet, ges inte eleverna någon möjlighet att urskilja att valet av bokstäver egentligen är godtyckligt.

Vad är resultatet och dina viktigaste slutsatser?

– Att när vissa saker tas för givna och hålls konstanta i undervisningen ger det lite möjlighet för eleverna att få syn på dem, till skillnad mot när läraren använder sig av variationer i sin undervisning. Det handlar om att hantera matematikinnehållet på olika sätt, och där var en del av de kinesiska lärarna oerhört skickliga. I avhandlingen delar jag in lärandeobjektet (som i variationsteorin går ut på att eleverna ska få en viss förmåga, i det här fallet förmågan att lära sig matematik) i tre delar: begreppet ekvationssystem, vad som menas med lösning samt substitutionsmetoden, som är ett sätt att lösa ett ekvationssystem. Ett viktigt resultaten är de 21 aspekter av lärandeobjekten som jag har hittat och som jag tror kan vara till nytta för matematiklärare som ska undervisa i algebra. Det handlar helt enkelt som saker som man bör beakta när man undervisar: till exempel kunde jag se att när man arbetar med två ekvationer parallellt, som båda innehåller x och y, så utgår läraren ofta från att eleverna är på det klara med att x i den första ekvationen och x i den andra ekvationen står för samma tal. Men du kan ge dig katten på att det sitter elever i klassrummet som inte har förstått det. Precis som att det finns elever som tror att x och y inte skulle kunna vara samma tal, eftersom det är olika bokstäver. På ett sätt är det det som är absolut svårast med att undervisa i matematik: att ta upp det som är så självklart att du nästan har glömt bort det. Vissa lärare i studien gör en speciell poäng av att visa att det även går att använda sig av andra bokstäver och symboler i en ekvation, de öppnar helt enkelt upp den här dimensionen för variation, medan den hos andra glider obemärkt förbi.

Hittade du något under arbetets gång som överraskade eller förvånade dig?

– Jag hade hört mycket om kinesisk matematikundervisning innan jag påbörjade min studie, särskilt att det fanns en speciell metodik i Shanghai där man utnyttjade det här med variation av innehållet på ett väldigt genomtänkt sätt. En del av de sekvenser jag har sett är också otroligt skickligt genomförda och planerade, det finns exempel på lärare i studien som vänder och vrider på lärandeobjektet och skapar massor av variationer – man blir imponerad! Det skulle man förstås kunna läsa sig massor på att ta del av som lärare: det går att lära sig utnyttja de här viktiga aspekterna i undervisningen, bara man gör det på ett genomtänkt sätt.

Vem har nytta av dina resultat?

– Förhoppningsvis matematiklärare som ska undervisa om ekvationssystem. Jag tror definitivt att man kan få syn på sin egen undervisning i andras, och därmed få upp ögonen för vilka aspekter man tar för givet och vad som man därmed måste ändra på i sin undervisning. Svenska lärare kan definitivt lära sig en del av hur kinesiska lärare vrider och vänder på matematikinnehåller så att eleverna får möjlighet att uppfatta skillnaderna.

Hur tror du att dina resultat kan påverka arbetet i skolan?

– Jag hoppas att avhandlingen kan bidra till att lärare kan få upp ögonen för de olika aspekter som är viktiga för eleverna att få syn på när de kommer till linjära ekvationssystem – och därmed också börja fundera på hur man kan börja variera innehållet i sin egen undervisning så att eleverna kan få syn på det som tidigare har varit osynligt.

Hedda Lovén