Få bevisrelaterade uppgifter i matematikböcker på gymnasieskolan

Gymnasieböcker i matematik erbjuder få tillfällen för elever att lära sig matematisk bevisföring. Det saknas framför allt tillfällen att resonera kring allmänna fall, visar Andreas Bergwalls avhandling.

Varför blev du intresserad av ämnet?

– Jag är matematiker i botten och har undervisat i matematik på universitetet i många år. Där har matematiska bevis en mer central plats än vad de har i gymnasieskolans matematik. Det är något som ofta upplevs som svårt och det är samtidigt en väldigt central del av matematiken, därför var det ett intressant område att undersöka.

Vad handlar avhandlingen om?

– Jag har undersökt gymnasieböcker i matematik och vilka möjligheter de erbjuder elever att lära sig matematisk bevisföring. Jag har också försökt se om böckerna skiljer sig åt mellan olika matematiska innehållsområden. Jag har studerat de två läromedelsserier i matematik som är de mest använda i Sverige på gymnasieutbildningar som förbereder för högre utbildning i matematik, naturvetenskap och teknik, och de två mest använda finländska läromedlen.

Vilka är de viktigaste resultaten?

– Till att börja med så vill jag göra klart att det här inte är en värdering av läromedel eller författare som syftar till att tala om att vem som är bäst. Jag har försökt beskriva vad jag ser, och det främsta resultatet är att bevis och bevisrelaterade resonemang inte är särskilt framträdande i läroböckerna. Det som särskilt saknas är tillfällen att resonera kring allmänna fall. Matematiska satser är ju påståenden om generella principer, och då måste man argumentera för dem på ett sätt så att argumentet faktiskt håller för alla tänkbara fall. Just den här möjligheten att resonera kring allmänna fall ges det ganska få tillfällen att göra. I stället utgår böckerna från specifika exempel och använder dem som argument för hur det borde vara generellt sett. En av de mest väldokumenterade svårigheterna i forskningslitteraturen är just att man blandar ihop ett empiriskt resonemang med ett generellt deduktivt resonemang. Om man kan verifiera att någonting gäller i ett specialfall så tror man att det gäller jämt. Är det då så att man i väldigt stor utsträckning enbart jobbar med specifika exempel, så får man inga möjligheter att upptäcka vilka slutsatser man egentligen kan dra som utgångspunkt från enstaka exempel, och vilka slutsatser som faktiskt kräver att man har resonerat i mer allmänna termer. Det är bekymmersamt.

– Mina resultat visar också att det är ganska liten variation vad gäller typer av, och strukturen i de matematiska resultat som tas upp i böckerna. De allra flesta resultat som presenteras är räkneregler och formler, och de flesta resonemangen handlar om direkta härledningar av sådana formler. Men det finns väldigt lite av andra typer av resultat, som till exempel existens- eller entydighetsresultat, eller att man för indirekta resonemang eller resonerar med hjälp av motexempel.

– Jag kunde också se att de finländska och de svenska läromedlen lutar åt lite olika håll. Både bevis och matematikens struktur är lite synligare i de finska böckerna än i de svenska. Det är också lite vanligare med rent deduktiva resonemang med allmänna fall i de finska böckerna än i de svenska. Men det tycks vara en lite större variation i typer av resonemangsaktiviteter i de svenska böckerna.

Vad överraskade dig?

– Jag var lite överraskad över att det var så pass liten variation, och att det finns så många typer av matematiska påståenden och resonemang som man nästan inte alls stöter på, på gymnasiet, men som blir ganska vanliga redan i inledningen av universitetsstudier i matematik. Någon annan får studera om det skulle kunna vara en orsak till att många tycker att matematiken är svår på universitetet, men det är en hypotes. Jag blev också överraskad av att ordet bevis i princip inte förekommer i de delar av de svenska matematikböckerna som jag har undersökt.

Vem har nytta av dina resultat?

– Jag hoppas att de som står i begrepp att skriva en lärobok, eller revidera en bok, eller en lärare som vill ge bevis och bevisföring lite större plats i sin undervisning, har nytta av resultaten. Men också forskare som vill studera det här fenomenet, vare sig det handlar om att studera läromedel eller studera undervisning och lärande i klassrummet. Jag hoppas också att resultaten ska kunna hjälpa mig själv i min egen undervisning.

Åsa Lasson