Proof-related reasoning in upper secondary mathematics textbooks: Characteristics, comparisons, and conceptualizations

Abstrakt

Matematisk bevisföring är svårt att lära sig och svårt att undervisa. En vanlig problematik är att många elever och studenter ser enstaka exempel som tillräckliga argument för generella påståenden. Svårigheter med bevisföring är också en del av den övergångsproblematik som finns mellan gymnasie- och universitetsstudier i matematik. Eftersom undervisningen ofta följer en lärobok så har böckernas utformning pekats ut som en möjlig orsak till problemen. Internationell läromedelsforskning antyder också att bevis ofta har en undanskymd plats i böckerna. Den här avhandlingen bidrar med kunskaper om hur bevis hanteras i gymnasieböcker i matematik. Den tar också upp teoretiska och metodologiska frågor om vad som avses med att en bok erbjuder möjligheter att utveckla kompetens inom bevisområdet, och vilka egenskaper hos sådana möjligheter som är relevanta att undersöka och karaktärisera. Avhandlingen bygger på studier av fyra svenska och finska läromedelsserier för gymnasieskolans teoretiska program och fokuserar på avsnitt om logaritmer, primitiva funktioner, bestämda integraler och kombinatorik. Dels undersöks hur de matematiska principer som tas upp motiveras, dels om böckernas övningsuppgifter ger eleverna möjligheter att utveckla bevisrelaterade färdigheter såsom att formulera och undersöka hypoteser, argumentera för påståenden, undersöka giltigheten i presenterade argument, identifiera och korrigera felaktigheter i resonemang och konstruera motexempel. Resultaten visar att drygt hälften av de matematiska principer som behandlas i det analyserade materialet motiveras, men att bara hälften av motiveringarna är generella bevis. Få uppgifter är bevisrelaterade (10 %) och de som inbegriper generella resonemang ännu färre. Generella bevis och resonemang är vanligare i de finska böckerna, men bevisrelaterade uppgifter är vanligare och av mer varierad karaktär i de svenska. Den vanligaste formen av bevis är direkta härledningar av beräkningsformler medan resonemang om existens och entydighet är ovanliga, liksom indirekta bevis och motsägelsebevis. Med resultaten som grund ges konkreta förslag på vad undervisning kan ägna mer uppmärksamhet åt. För analys och utveckling av bevisrelaterade aktiviteter föreslås ett ramverk bestående av fyra huvudkategorier: utforma påståenden, undersöka påståenden, utforma argument och undersöka argument. En rad egenskaper som aktiviteterna kan ha oavsett vilken kategori de tillhör diskuteras. Avslutningsvis ges förslag på vidare forskning inom tre områden: hur lösta exempel kan stötta elevers lärande av bevis, hur läroböcker kan utformas för att stimulera till att formulera såväl som att bevisa hypoteser, samt kartläggning av hur gymnasie- och universitetsböcker skiljer sig åt i hanteringen av bevis.

Proof-related reasoning in upper secondary mathematics textbooks: Characteristics, comparisons, and conceptualizations

Proofs and proving are difficult to learn and difficult to teach. A common problem is that many students use specific examples as evidence for general statements. Difficulties with proofs are also part of the transition problems that exist between secondary and tertiary schooling in mathematics. As mathematics teaching often follows a textbook, the design of textbooks has been pointed out as one possible cause of the problems, and international textbook research suggests that proofs often have only a marginal place in textbooks.

This thesis focuses on proofs and proving in upper secondary mathematics textbooks. It also addresses theoretical and methodological questions about what marks an opportunity to develop proving competence, and which properties of such opportunities are relevant to investigate and characterize. The thesis is based on data from four Swedish and Finnish textbook series for upper secondary school, and focuses on sections on logarithms, primitive functions, definite integrals, and combinatorics. It examines how addressed mathematical principles are justified, and whether the textbooks’ exercises offer opportunities to develop proof-related skills such as formulating and investigating hypotheses, developing and evaluating arguments, identifying and correcting errors, and finding counterexamples.

The results show that just over half of the mathematical principles addressed in the analyzed textbook material are justified, and that only half of the justifications are general proofs. Few exercises are proof-related (10%), and those that include reasoning about general cases even fewer. General proofs are more common in the Finnish books, but proof-related tasks are more common and of a more varied nature in the Swedish ones. The most common form of proofs are direct derivations of calculation formulas, while reasoning about existence and uniqueness is unusual, as are contrapositive proofs and proofs by contradiction.

Based on the results, explicit suggestions are offered as to what teaching can pay more attention to. For the analysis and design of proof-related activities, a framework consisting of four main categories is proposed: develop a statement, investigate a statement, develop an argument, and investigate an argument. Several properties that such activities may have, regardless of which category they belong to, are discussed. Finally, three areas for future research are suggested: how worked examples can support students’ learning of proof, how textbooks can be designed to stimulate formulation as well as the formal proving of hypotheses, and mapping of differences regarding proof between upper secondary and university textbooks.