Mycket dolt i studenters matematikförståelse

Hur blev du intresserad av ämnet?

– Jag har undervisat i matematik i många år, och har alltid varit intresserad av hur mina studenter tänker och varför de svarar som de gör – att försöka se mellan raderna på vad de säger. Så valet av forskningsämne grundar sig på min egen undervisningserfarenhet. Jag har en gymnasielärarexamen i matematik och fysik, men matematik har alltid varit mitt huvudämne och på högskolan i Skövde, där jag har varit anställd sedan 1985, har jag bara undervisat i matematik. Lika självklart som det var att jag skulle forska om matematik när tillfälle gavs, var det att jag skulle ha en ämnesdidaktisk inriktning på min avhandling – just eftersom jag tycker att mötet med studenterna är så spännande.

Vad handlar avhandlingen om?

– Den handlar om studenters begreppsuppfattningar, närmare bestämt hur studenter på högskole- och universitetsnivå använder sig av begreppsuppfattningar inom matematisk analys (i det här fallet gällde det begreppen gränsvärde, derivata och integral). För att kunna se hur studenterna använder sina begreppsuppfattningar har jag använt tre aspekter av matematiken som ett raster: den algoritmiska, den formella och den intuitiva aspekten. Avhandlingen består av tre artiklar: i de två första har jag samlat in skriftliga utsagor från 20 studenter om hur de uppfattar två begrepp (gränsvärde och integral) samt gjort djupintervjuer med fyra av studenterna. I den tredje artikeln har jag videofilmat när studenter som läser ett matematikprogram arbetar med att lösa ett utmanande matematikproblem.

Vad är resultatet och dina viktigaste slutsatser?

– Den första artikeln visar att studenterna ser på matematiken som en mekanisk process: för dem är det främst någonting man gör, till exempel att stoppa in värden i en formel och få fram ett resultat. Deras begreppsuppfattning är med andra ord ganska algoritmisk, de fokuserar mer på hur och mindre på varför. Det visade sig dock, när jag i den andra studien gick vidare och studerade det här ännu djupare, att när man provocerar studenterna med besvärliga frågor så uppenbarar sig andra, mer förståelseinriktade begreppsliga uppfattningar. Den här förståelsen visade sig först när jag pressade dem i mina intervjuer. Dessutom ledde frågorna till att studenterna öppnade upp sig för ett nytt synsätt på matematiken: flera av dem konstaterade att de behövde fundera igenom det här igen. Den sista artikeln (där jag hade videofilmat studenter som arbetade med ett matematiskt problem) visade att studenterna som läste på matematikprogrammet också hade ett algoritmiskt förhållningssätt, men utöver det hade de förmågan att använda sig av matematikens formella språk och intuitiva begrepp. De här studenterna hade gjort begreppen till sina egna och skapat bilder för att kunna förklara olika matematiska fenomen – de utnyttjade både formella och intuitiva aspekter av begreppen.
– Avhandlingen visar att studenterna generellt hanterar och uppfattar matematiken på ett algoritmiskt sätt – men det är inte nödvändigtvis en återvändsgränd eller ett misslyckande. Jag kan tvärtom se att här finns det en öppning: när man verkligen lyssnar på vad studenterna säger och djupstuderar deras handlingar, så blir det begripligt. Att de har den här algoritmiska uppfattningen är dessutom inte särskilt märkligt när man matchar det mot den förståelse som presenteras eller krävs i prov och läroböcker. Andra forskare har redan visat att det i många fall räcker långt för studenterna att enbart imitera inom matematiken, både i böcker och på prov.
– Ett annat intressant resultat är att studenterna skattar sin egen förståelse ganska högt, vilket inte så underligt eftersom de bedömer sin förståelse utifrån kraven i läroböcker och prov – de mäter sig helt enkelt mot den bild av matematiken vi har visat dem. Men vi vill ju att studenterna ska få en djupare förståelse och inte bara kunna processa ett antal typexempel. De studenter i avhandlingen som har kommit lite längre i sin begreppsuppfattning har lagt sig till med den mer formella aspekten av matematiken, vilket också är ett av de uttalade målen i universitetsmatematiken längre fram. De studenter som gick på matematikprogrammet uppvisade också en intuitiv förståelse, med de här studenterna hade läst lite längre än ingenjörsstudenterna vilket indikerar att den intuitiva förmågan tar lite längre tid att uppnå.

Hittade du något under arbetets gång som överraskade eller förvånade dig?

-Ja, att de studenter som gick på matematikprogrammet så effektivt kunde utnyttja matematikens formella strukturer. De hade förmågan att växla mellan olika strategier och kunde därigenom få en väldigt kreativ kraft. Att jag förvånades beror på att mycket av det här inte märks när man lyssnar ytligt på studenternas samtal: det låter rörigt, det är svårt att se strukturen, ibland förkortar de så mycket att det är svårt att se vad de gör. Men faktum är att studenterna använder sig av precis samma strategier som en rutinerad matematiker. Det är intressant, inte minst eftersom studenter ofta får kritik av lärare för att de lämnar en del förutsättningar därhän när de löser matematikproblem, men det kan som sagt också finnas en strategi i det – ibland måste man lämna en viss fråga för stunden för att gå vidare och lösa andra, som sedan kan bidra till att nysta upp de återstående knutarna.

Vem har nytta av dina resultat?

– Gymnasie- och universitetslärare, som kan få nya tankar och idéer att omsätta i sin undervisning. Jag sätter fingret på två underliggande problem som egentligen angår alla som undervisar i matematik: det ena är att vi tenderar att underskattar studenternas förmåga och inte uppfattar deras bakomliggande förståelse, det andra är att studenters syn på matematik som en process inte nödvändigtvis måste hindra eller stå i vägen för en djupare förståelse.

Hur tror du att dina resultat kan påverka arbetet i skolan?

– Ju mer man funderar på hur studenter uppfattar matematiken, desto mer kommer man att behöva fundera på vilken bild av matematiken man själv förmedlar som lärare – och det matematiska material man använder sig av i klassrummet! Den här avhandlingen är bara ett av många material om hur elever möter matematiken och hur skolans matematikmiljö påverkar deras sätt att uppfatta den. En viktig tanke som jag tycker bör få vara med och prägla mötet med studenterna eller eleverna är att hela tiden ha en nyfikenhet kring vad som ligger bakom deras svar, och verkligen lyssna på vad de säger. Det kan i sin tur leda till funderingar kring hur man kan möta deras förståelse på olika sätt, inte minst för att kunna ställa de där utmanade frågorna som de behöver för att hitta nya sätt att se på matematiken och utveckla sin förståelse.

Hedda Lovén